东北往事（2）
文/肃山
说起三爷的身世，他的确不是本地人。三爷祖籍山东青州，幼年父母双亡，6岁那年，随着哥哥姐姐一起逃荒流落到东北，后来又失散了，最后跟着长兄和长嫂来到哈尔滨，长兄是个郎中，后来在城里开了间药铺，一家人生活才渐渐有所改善。三爷小时候上过私塾，喜欢读书，并且什么书都读，什么摸脉看相的，什么求神问卜的，比如说《渊海子平》、《麻衣神相》，还有《山海经》……总之很杂。没事儿就在街上听两段评书小曲什么的，渐渐的就喜欢上了，据说，自己也试着说过整套的《童林传》。后来再大些就被送到一家大裁缝铺做了学徒。
当时整个东北都已经被日军侵占了，城里驻扎着很多日本兵。三爷店里也经常给鬼子做衣服，做好了就让他这么大的学徒给送过去，所以，一来二去，他也学了几句简单的日语。
有一年元宵节，大哥大嫂花钱给他做了身绸缎的褂子，在裁缝店里什么好料子都见过摸过，这么好的料子穿在自己身上还是头一回，三爷心里特别地美。晚上，三爷穿着新衣服高高兴兴出来赏灯听戏，这天晚上城里边格外地热闹，所以回家就晚了些。
三爷正余兴未尽地往家走，正巧路上经过一个狭窄的巷子，突然，迎面走过来两个东倒西歪的日本兵，好像喝了很多酒，嘴里叽里咕噜说着日本话。巷子很窄，现在想躲是躲不开了，只好硬着头皮走个对面，两个日本兵见他走过来，好像找到了发泄的对象，晃晃悠悠地扑了过去，一把揪住三爷的脖领子，上来就一个大嘴巴，嘴里还骂着，“ばかやろう(巴嘎雅路)！”话音未落,另外一个也冲了过来，手里端着三八大盖带着明晃晃的刺刀。
三爷见事情不妙，情急之下，一把夺过刺刀，朝两个日本兵胡乱刺了一通，等他冷静过来之后，两个日本兵已经倒在血泊之中了，他赶忙往四周扫了一圈，正好没人，赶紧慌慌张张地跑回了家。
到家后，哥哥嫂子正要躺下，突然，听见凌乱的砸门声，披上衣服，一开门看见兄弟手里紧紧攥着一把三八式步枪，枪上插着50厘米长的带血的刺刀，新做的绸缎褂子上都是血，哥哥嫂子被吓坏了，一把将他拉进屋里，连忙问发什么了什么事儿？三爷半天才缓过神来，说，“坏了，我杀了两个日本兵！”哥哥嫂子一听都傻了，连夜收拾行李，悄悄把他送出了城。
临行给了他一些盘缠，还有一张纸，上面写着一个远房亲戚的地址。三爷这一走，十多年没回去过，后来听说，当天夜里小鬼子就全城戒严了，鬼子到处搜查那把枪打下落。还听说，那把枪上刻着一个名字：中队长，青木雄大。
后来，三爷远房亲戚也没有找到，最后靠着裁缝手艺维持生活，再后来就流落到这里。
东北往事（1）夜路
东北往事（2）身世
东北往事（3）胡子
东北往事（4）算命
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东北往事（6）白人
东北往事（7）遇狼
东北往事（8）叫魂
东北往事（9）祭鬼
东北往事（10）八仙姑
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1.戴口罩前、摘口罩后，均应做好手卫生。
2.区分口罩正反面，不能两面戴。
3.不与他人混用或共用口罩。
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5.一次性使用医用口罩和医用外科口罩均为限次使用，应定期更换。
6.处于人员密集场所，如办公、购物、餐厅、会议室、车间、乘坐厢式电梯、公共交通工具等，应随身备用一次性使用医用口罩或医用外科口罩。
7.有咳嗽或打喷嚏等症状者，配戴一次性使用医用口罩或医用外科口罩。
8.与居家隔离、出院康复人员共同生活的人员，配戴一次性使用医用口罩或医用外科口罩。
有挑战性的数学题目
1、甲.乙两人共存钱8500元,如果甲增加25%,乙增加九分之一,那么两人的钱数就一样多.甲.乙两人原来各有钱几元?
2、AB两人读同本书。A第一天读9页，以后每天比前一天多读3页，最后一天只需读30页就可读完。B第一天读15页，以后每天比前一天多读3页，最后一天只需读12页就可读完。这本书共有几页？”
3、甲、乙两校原有篮球只数的比是2:1,如果甲校给乙校4只,甲、乙两校篮球只数的比就是4:3，原来甲校有蓝球几只？
高一数学知识
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容
它有六种基本函数(初等基本表示)：
分别是 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
角 θ的所有三角函数
(见:函数图形曲线)
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有
正弦函数 sinθ=y/r
余弦函数 cosθ=x/r
正切函数 tanθ=y/x
余切函数 cotθ=x/y
正割函数 secθ=r/x
余割函数 cscθ=r/y
（斜边为r，对边为y，邻边为x。）
以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
正弦（sin）:角α的对边比上斜边
余弦（cos）:角α的邻边比上斜边
正切（tan）:角α的对边比上邻边
余切（cot）:角α的邻边比上对边
正割（sec）:角α的斜边比上邻边
余割（csc）:角α的斜边比上对边
同角三角函数间的基本关系式：
•平方关系：
sin^2α＋cos^2α＝1
1＋tan^2α＝sec^2α
1＋cot^2α＝csc^2α
•积的关系：
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
•倒数关系：
tanα •cotα＝1
sinα •cscα＝1
cosα •secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
•[1]三角函数恒等变形公式
•两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβ
cos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβ
sin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)
•三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγ
cos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)
•辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+arctan(B/A))，其中
sint=B/(A²+B²)^(1/2)
cost=A/(A²+B²)^(1/2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
•倍角公式：
sin(2α)=2sinα•cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]
•三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα•sin(60+α)sin(60-α)
cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα•cos(60+α)cos(60-α)
tan(3α)=tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)
•半角公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
•降幂公式
sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
•万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
•积化和差公式：
sinα•cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα•sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα•cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα•sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
•和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
•推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos²α
1-cos2α=2sin²α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²
•其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin³a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
=4cos³a-3cosa
sin3a=3sina-4sin³a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos³a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)²]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角函数的诱导公式
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
补充：6×9＝5种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）
f(β)→
f(β)＝↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°-α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
-cotα
-tanα
-cscα
secα
180°-α
sinα
-cosα
-tanα
-cotα
-secα
cscα
180°+α
-sinα
-cosα
tanα
cotα
-secα
-cscα
270°-α
-cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
-secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
-secα
360°-α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
－α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”
比如:90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
三角形与三角函数
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)
2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA
4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tg[(A-B)/2]/tg[(A+B)/2]=tg[(A-B)/2]/ctg(C/2)
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
部分高等内容
•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
•三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
:
角度a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°
1.sina 0 1/2 1 3/2 1 3/2 0
2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1
3.tana 0 1/3 1 3 / -3 0
4.cota / 3 1 1/3 0 -1/3 /
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+... (|x|<1)
sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞ arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1) 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。 -------------------------------------------------------------------------------- 傅立叶级数(三角级数) f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx 三角函数的数值符号 正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负 余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负 正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负 三角函数定义域和值域 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕 tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R 初等三角函数导数 y=sinx---y'=cosx y=cosx---y'=-sinx y=tanx---y'=1/(cosx)² =(secx)² y=cotx---y'=-1/(sinx)² =-(cscx)² y=secx---y'=secxtanx y=cscx---y'=-cscxcotx y=arcsinx---y'=1/√1-x² y=arccosx---y'=-1/√1-x² y=arctanx---y'=1/(1+x²) y=arccotx---y'=-1/(1+x²) 反三角函数 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x). 反三角函数主要是三个： y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条； y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条； y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条； sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π/2,π/2】 证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得 其他几个用类似方法可得。 海门市申海鞋业有限公司是1997-05-16在江苏省南通市海门市注册成立的有限责任公司(自然人投资或控股)，注册地址位于海门市正余镇正南村13组18号。 海门市申海鞋业有限公司的统一社会信用代码/注册号是913206847132982221，企业法人张忠，目前企业处于开业状态。 海门市申海鞋业有限公司的经营范围是：特种劳动防护用品、皮鞋、鞋底（制造、销售）。（依法须经批准的项目，经相关部门批准后方可开展经营活动）。在江苏省，相近经营范围的公司总注册资本为12986万元，主要资本集中在 1000-5000万 和 5000万以上 规模的企业中，共5家。 通过爱企查查看海门市申海鞋业有限公司更多信息和资讯。 提醒：你的值写反了，这是个错误的书写。 首先，三角形的角是0到π，所以，sinA=4/5，sinB=12/13,因为全是正值，无负的SIN值。 然后sinC=sin(π-（A+B）)=SIN(A+B);这个是根据奇变偶不变，符号看象限。 SIN(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(4/5)*(5/13)+(3/5)*(12/13)=56/65.这个是因为两角正弦值为，正余余正，符号相同。 求最佳，我大老早起来做任务，我有急事，求给个最佳，谢谢了海门市申海鞋业有限公司怎么样？
高一数学求解
