一、数学,调和数列,特点,性质,公式

定义1:自然数的倒数组成的数列,称为调和数列.

定义2:若数列{an}满足1/a(n+1)-1/an=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}调和数列

人们已经研究它几百年了.但是迄今为止没有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(当n很大时):

1+1/2+1/3+......+1/n≈lnn+C(C=0.57722......称作欧拉初始,专为调和级数所用,至今不知是有理数还是无理数)

人们倾向于认为它没有一个简洁的求和公式.

但是,不是因为它是发散的,才没有求和公式.相反的,例如等差数列是发散的,公比的绝对值大于1的等比数列也是发散的,它们都有求和公式.

当n→∞时

1+1/2+1/3+1/4+

+1/n

这个级数是发散的简单的说,结果为∞

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用高中知识也是可以证明的,如下:

1/2≥1/2

1/3+1/4>1/2

1/5+1/6+1/7+1/8>1/2

……

1/[2^(k-1)+1]+1/[2^(k-1)+2]+…+1/2^k>[2^(k-1)](1/2^k)=1/2

对于任意一个正数a,把a分成有限个1/2

必然能够找到k,使得

1+1/2+1/3+1/4+

+1/2^k>a

所以n→∞时,1+1/2+1/3+1/4+

+1/n→∞

二、什么叫调和级数 关于调和级数介绍

1、调和级数(英语:Harmonic series)是一个发散的无穷级数。

2、调和级数是由调和数列各元素相加所得的和。中世纪后期的数学家Oresme证明了所有调和级数都是发散于无穷的。但是调和级数的拉马努金和存在,且为欧拉常数。

三、调和级数的定义

调和级数(英语:Harmonic series)是一个发散的无穷级数。它是级数中一种确定的,重要的级数。在解题中,调和级数作为一把“ 尺子 ”,在判别另外一个级数发散起着重要作用。

关于调和级数的发散性,早在14世纪,尼克尔·奥里斯姆就已经证明了,但知道的人不多。17世纪时,皮耶特罗·曼戈里、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部证明工作。

很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单:

1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列,则1/An就称为调和数列,求和所得即为调和级数,易得,所有调和级数都是发散于无穷的。

扩展资料

关于调和级数发散性的证明有很多,门戈利(Pietro Mengoli)在1647年证明了这个结论,40年后,约翰·伯努利(Johann Bernoulli)再次证明,不久,约翰的哥哥雅各布(Jakob Bernoulli)第四次证明。

不知道是因为什么原因,国内多种课本给出的都是使用反证法。他们似乎都忘记了奥雷姆(Nicole d’Oresme)在14世纪使用普通算数给出的证明。

参考资料来源:百度百科-调和级数

四、怎么来的 ?还有什么叫调和级数阿?

分母是不全为0的等差数列构成的是调和数列,调和数列的和就是调和级数

五、为什么叫调和级数

例如, 1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲,如果An是不全部为0的等差数列,则1/An就称为调和数列,求和所得即为调和级数,易得,所有调和级数都是发散于无穷的。

六、数学上的「调和」究竟是什么含义?

数学上的「调和」究竟含义:调和在调和函数、调和级数、调和平均值等中均是同一个意思,就是1/x。

调和级数是各项倒数为等差数列的级数,各项倒数所成的数列(不改变次序)为等差数列。从第2项起,它的每一项是前后相邻两项的调和平均,故名调和级数。

积分判别法

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位(换句话说,每个长方形的面积都是1/n)。

注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列,则1/An就称为调和数列,求和所得即为调和级数,易得,所有调和级数都是发散于无穷的。