一、互为反函数的性质

(1)函数f(x)与他的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致等

性质

反函数其实就是y=f(x)中,x和y互换了角色

(1)函数f(x)与他的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称;

函数及其反函数的图形关于直线y=x对称

(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;

(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

(4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x),定义域是{0}且f(x)=C(其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0})。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

(5)一切隐函数具有反函数;

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】;

(8)反函数是相互的且具有唯一性;

(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反);

(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))。

反函数

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。

存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

函数转化为反函数的步骤

1、确定原函数的值域

2、解方程求出x

3、交换x,y,标明定义域。

二、什么是互为反函数???

一般来说,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。

扩展资料:

相关性质:

1、函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

3、大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x), 定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C},值域为{0} )。

奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。

4、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性。

5、严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数。

6、反函数是相互的且具有唯一性。

7、定义域、值域相反对应法则互逆(三反)。

参考资料来源:百度百科-反函数

三、互为反函数的两个函数有什么性质

【反函数的性质】

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;

(2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的;

(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

(4)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

(5)一切隐函数具有反函数;

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】.

(8)反函数是相互的

(9)定义域、值域相反对应法则互逆

(10)不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方

例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x

例题:求函数3x-2的反函数

y=3x-2的定义域为R,值域为R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

y=1/3(x+2)

四、什么叫互为反函数

1.反函数的概念

设y=f(x)表示y是自变量x的函数,它的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=φ(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x=φ(y)就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f-1(y),通常将它改写成y=f-1(x).

函数y=f(x)的定义域是它的反函数y=f-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域是它的反函数y=f-1(x)的定义域.

函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.

2.反函数概念的理解

反函数实质上也是函数.

反函数是相对于原函数而言,换句话说,反函数不能脱离原函数而单独存在.

并不是所有的函数都有反函数.例如函数y=x2没有反函数.只有原象唯一的函数,即对任意x1≠x2能推断出f(x1)≠f(x2)成立的函数f(x)才具有反函数(这里x1、x2是f(x)的定义域内的两个值).

如果函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),那么函数y=f(x)也是其反函数y=f-1(x)的反函数,即它们互为反函数.

函数y=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f-1(x)的值域和定义域.

反函数的定义域和值域应该正好是原来函数的值域和定义域.例如,函数y= (x∈Z)不是函数y=2x(x∈Z)的反函数,因为前者的定义域显然不是后者的值域.因此,求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)时,必须确定原来函数y=f(x)的值域.

3.求给定解析式的函数y=f(x)的反函数,其步骤为:

(1)从方程y=f(x)中解出x=f-1(y);

(2)将x、y互换,得到y=f-1(x);

(3)根据y=f(x)的值域,写出y=f-1(x)的定义域.

互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但也有相同的.例如函数y=x的反函数仍是y=x,函数y= 的反函数仍是y= .

4.互为反函数图像间的关系

在同一个直角坐标系中,函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.特别地,当函数与其反函数相同时,函数的图像本身关于直线y=x对称.

在y=f(x)与x=f-1(y)中,x、y所表示的量相同,但是地位不同.在y=f(x)中,x是自变量,y是x的函数;在x=f-1(y)中,y是自变量,x是y的函数.在同一个直角坐标系中,y=f(x)与x=f-1(y)的图像是同一个点集.

5.反函数具备的其它性质

在y=f(x)与y=f-1(x)中,x、y所处的地位相同,但表示的量的意义不同.

若y=f(x)(x∈A),与y=f-1(x)(x∈C)互为反函数,则有

f[f-1(x)]=x(x∈C);

f-1[f(x)]=x(x∈A).

互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性.

奇函数若有反函数,则其反函数也是奇函数.

具有单调性的函数必有反函数.

两个互为反函数的图像如果有交点,它们的交点不一定在直线y=x上.

五、什么叫做反函数?指数函数和哪个函数互为反函数?还有那些常见的函数互为反函数?

指数函数与对数函数(即log)互为反函数.反函数有一个极其重要的性质.就是互为反函数的两个函数图像关于y=x对称.至于其余的反函数很多.比如y=x^2.和y=更号x.y=1+x和y=x–1.

六、互为反函数的两个函数有什么性质? 同上

【反函数的性质】

(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;

(2)函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的;

(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;

(4)偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数.若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数.

(5)一切隐函数具有反函数;

(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;

(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】.

(8)反函数是相互的

(9)定义域、值域相反对应法则互逆

(10)不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方

例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5

y=2^x的反函数是y=log2 x

例题:求函数3x-2的反函数

y=3x-2的定义域为R,值域为R.

由y=3x-2解得

x=1/3(y+2)

将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是

y=1/3(x+2)